給出下列命題：①當α=4.5π時，函數y=cos（2x+α）是奇函數；②函數y=sinx在第一象限內是增函數；③函數f(

題目：

給出下列命題：
①當α=4.5π時，函數y=cos（2x+α）是奇函數；
②函數y=sinx在第一象限內是增函數；
③函數f(x)＝sin

解答：

①當α=4.5π時，函數y=cos（2x+α）=-sin2x，是奇函數，故①正確；
②因爲y=sinx在[2kπ-
π
2，2kπ+
π
2]上是增函數．而說第一象限是增函數不對的，
因爲在一個象限並不一定在一個區間內．所以②錯誤；
③在函數f(x)＝sin2x−(
2
3)|x|+
1
2中，
∵0≤sin²x≤1，-1≤-（
2
3）^|x|＜0，
∴-
1
2≤sin²x-（
2
3）^|x|+
1
2，
∴函數f(x)＝sin2x−(
2
3)|x|+
1
2有最小值-
1
2，故③正確；
④∵sinα•cosα=
1
2sin2α∈[-
1
2，
1
2]，
∴不存在實數α，使sinα•cosα=1，故④不正確；
⑤∵y＝
3sinωx+cosωx(ω＞0)
=2sin（ωx+
π
6）（ω＞0）的圖象關於直線x＝
π
12對稱，
∴ω=4．故⑤不正確．
故答案爲：①③．

試題解析：

①當α=4.5π時，函數y=cos（2x+α）=-sin2x是奇函數；
②因爲y=sinx在[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]上是增函數．而說第一象限是增函數不對的；
③在函數f(x)＝sin2x−(

2

3

)|x|+

1

2

中，-

1

2

≤sin²x-（

2

3

）^|x|+

1

2

；
④sinα•cosα=

1

2

sin2α∈[-

1

2

，

1

2

]；
⑤y＝

3

sinωx+cosωx(ω＞0)的圖象關於直線x＝

π

12

對稱⇔ω=4．

名師點評：

本題考點： 命題的真假判斷與應用．
考點點評： 本題考查命題的真假判斷，解題時要認真審題，注意三角函數的性質的靈活運用．