假設一個函數是在D上有界的,而且它在D上是單調遞增或遞減的,那麼是不是說明這個函數一定是有極限的?

題目：

假設一個函數是在D上有界的,而且它在D上是單調遞增或遞減的,那麼是不是說明這個函數一定是有極限的?
我要理論的證明.

解答：

不一定有極限的,比如符號函數
sgn(x) = -1 (x < 0); 0 (x = 0); 1 (x > 0)
是不嚴格的單調增函數.它在零點有左極限和右極限,但沒有極限.
變化一下,設
f(x) = -1 + x (x < 0); 0 (x = 0); 1 + x (x > 0)
它是嚴格的單調增函數.但在零點的極限結論與符號函數一樣.
據此可以構造有可數個點的更複雜結論.
事實上,只有在約定函數是連續函數的情況下,該命題才能成立.