函數有界性的M函數有上下界的是：給定函數f(x),x∈D ,集合X包含於D ,若存在正數M使得對任何x∈X,有f(x)≤

題目：

函數有界性的M
函數有上下界的是：給定函數f(x),x∈D ,集合X包含於D ,若存在正數M使得
對任何x∈X,有f(x)≤ M,則稱f(x)在X上有上界,否則稱爲無上界．
對任何x∈X,有f(x)≥-M,則稱f(x)在X上有下界,否則稱爲無下界．
問:爲什麼有的書上寫的是M是正數,而有的書上寫的是M是常數就行?到底哪個對?

解答：

從幾何意義來理解有界性可以幫助你解決這個問題.有上界意味著存在某條水平線y=M,y=f(x)的圖像總是在y=M的下方（可以相切）；類似地,有下界意味著存在某條水平線y=m,y=f(x)的圖像總是在y=m的上方（可以相切）.如果有上下界就意味著y=f(x)的圖像夾在兩條水平線之間,我們不妨取兩條和x軸等距的平行線y=M和y=-M,這樣我們事實上只需要找一個數「M」就好了.
所以常數、正數都對,因爲這只是存在性問題.
舉個例子f(x)=1-cos(x),它的值域是[-2,0],它是有界函數.對於任何x,都存在-2≤f(x)≤0.我們當然也可以說-2≤f(x)≤2,即|f(x)|≤2.