怎麼理解「單調有界的函數必有極限」 「單調」是指單調遞增、單調遞減都可以嗎?「有界」是指上下界都必須有嗎?還是說有一個就

題目：

怎麼理解「單調有界的函數必有極限」 「單調」是指單調遞增、單調遞減都可以嗎?「有界」是指上下界都必須有嗎?還是說有一個就可以了?

解答：

「單調有界數列必有極限」是微積分學的基本定理之一.數列的極限比較簡單,都是指當n→∞（實際上是n→+∞）時的極限,所以我們只要說求某某數列的極限（不必說n是怎麼變化的）,大家都明白的.函數的極限就比較複雜,如果只說求某某函數的極限,別人是不明白的,還必須要指明自變量（例如x）是如何變化的.考慮自變量的變化趨勢,有x→x0（x0是某個實數,這有多少種?）與x→∞；細分的話,還有x從左邊趨向於x0、從右邊趨向於x0、趨向於正無窮大、趨向於負無窮大.還不要忘記,我們研究函數的極限是有前提條件的：研究x→x0時的極限,要求函數在x0某個去心鄰域內有定義；研究x→∞時的極限,要求存在正數X,當|x|>X時函數有定義.只有在滿足前提條件下,才可以談這個函數此時的極限存在與不存在.你只給出函數單調有界,既不知道函數的定義域是怎樣的,又不知道自變量如何變化,這樣情形下談函數的極限根本就沒有絲毫的意義.