例1.已知數列{an}中,an-2/an=2n,且an〈0

題目：

例1.已知數列{an}中,an-2/an=2n,且an〈0
（1）求an
（2）判斷數列{an}的增減性
例2已知數列{an}的前n項和爲Sn,an=Sn*Sn-1（n大於等於2,Sn不等於0）,a1=2/9
（1）求證{1/sn}爲等差數列
（2）求滿足an大於an-1的自然數n的集合

解答：

因爲an-2/an=2n
所以：(an)^2-2nan-2=0
根據萬能公式：an=n-√(n^2+2),an=n+√(n^2+2)>0
又因an＜0
所以：an=n-√(n^2+2),
假設m>n>0
那麼am-an=m-√(m^2+2)-[n-√(n^2+2)]=(m-n)-[√(m^2+2)-(n^2+2)]
因爲(m-n)^2-[√(m^2+2)-(n^2+2)]^2
=-2mn-4+2√[(m^2+2)(n^2+2)]
=2{√[(m^2+2)(n^2+2)]-2-mn}
因爲(m^2+2)(n^2)-(2+mn)^2>0
所以(m-n)^2-[√(m^2+2)-(n^2+2)]^2>0
所以am>an
所以數列{an}單調遞增
2.
1.由題意得：
Sn-Sn-1=an;
1/Sn-1/Sn-1=(Sn-1 - Sn ) / (Sn·Sn-1) =-an/an=-1;
S1=a1=2/9;
所以1/Sn=1/S1+(n-1)*(-1)=11/2-n;
所以Sn=2/(11-2n);
所以an=Sn-Sn-1=4/[(2n-11)(2n-13)];
所以數列{1/Sn}是公差爲-1,首項爲2/9的等差數列.
2.當an>an-1時,由第一問結果,得到：
4/[(2n-11)(2n-13)]>4/[(2n-13)(2n-15)];
（接下來主要是討論符號）；
當1==8時,得到-15>-11不成立；
綜上所述：可得：解集爲:
{1,2,3,4,5,7}