如圖，在矩形ABCD中，點E對角線是BD上一點，作∠CEF=∠CBD，過點C作CF⊥CE交EF於F，連接DF．求證：

題目：

如圖，在矩形ABCD中，點E對角線是BD上一點，作∠CEF=∠CBD，過點C作CF⊥CE交EF於F，連接DF．求證：

（1）

CE

CB

＝

CF

CD

解答：

證明：（1）∵過點C作CF⊥CE交EF於F，
∴∠ECF=90°，
∵∠CEF=∠CBD，∠BCD=90°，
∴△BCD∽△ECF，
∴
CE
CB＝
CF
CD，
（2）設EF和CD的交點爲O，
∵△BCD∽△ECF，
∴∠BDC=∠EFC，
∵∠DOE=∠COF，
∴△DOE∽△COF，
∴
OE
OC＝
OD
OF，
∴
OE
OD＝
OC
OF，
∵∠DOF=∠EOC，
∴△ECO∽△DOF，
∴∠CFO=∠CDF，
∴∠EDC+∠CDF=∠BDC+∠DBC=90°，
∴∠BDF=90°，
∴BD⊥DF．

試題解析：

（1）根據題干條件可知∠CEF=∠CBD，∠BCD=∠ECF=90°，於是可以證得△BCD∽△ECF，即可證得

CE

CB

＝

CF

CD

，（2）設EF和CD的交點爲O，根據△BCD∽△ECF，求得∠BDC=∠EFC，又知∠DOE=∠COF，即可證明△DOE∽△COF，於是可得

OE

OC

＝

OD

OF

，進而得到

OE

OD

＝

OC

OF

，又知∠DOF=∠EOC，所以證得△ECO∽△DOF，然後得到∠CFO=∠CDF，最後求得∠BDF=90°．

名師點評：

本題考點： 相似三角形的判定與性質；矩形的性質．
考點點評： 本題主要考查相似三角形的判定與性質和矩形的性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質定理，本題稍微有點難度．