一道線性代數的考研題 設A=（α1,α2,α3,α4）是4階方陣,若（1,0,1,0）T 是方程組Ax=0的一個基礎解系

題目：

一道線性代數的考研題
設A=（α1,α2,α3,α4）是4階方陣,若（1,0,1,0）T 是方程組Ax=0的一個基礎解系,則A的伴隨X=0的基礎解系可爲?我想問的是 哪一個是Ax=0的線性無關解向量?

解答：

先看條件
Ax=0 的一個基礎解系是 [1,0,1,0]^T
這說明
1) x_1 = [1,0,1,0]^T 是Ax=0 的一個解
2) Ax=0 的解空間是一維的,同時得到 rank(A)=3
3) 0 = A * [1,0,1,0]^T = α1+α3,即 α3=-α1,所以 {α1,α2,α4} 是線性無關的
進一步考察 adj(A)x=0 的解空間需要對伴隨陣 adj(A) 比較熟
首先,從 rank(A)=3=4-1 可得 rank(adj(A))=1
注意 A*adj(A)=adj(A)*A=det(A)*I=0
所以 A 的每一列都是 adj(A)x=0 的解,而解空間又是三維的,所以{α1,α2,α4} 就是一個基礎解系
再問： 怎麼看解空間是幾維的？
再答： 定義域的空間維數 = 映射的秩 + 映射的零度 你有必要先找本教材好好看, 做題不解決問題