（2013•東城區二模）如圖，△BCD是等邊三角形，AB=AD，∠BAD=90°，將△BCD沿BD摺疊到△BC′D的位置

題目：

（2013•東城區二模）如圖，△BCD是等邊三角形，AB=AD，∠BAD=90°，將△BCD沿BD摺疊到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B．
（1）求證：AD⊥AC′；
（2）若M，N分別是BD，C′B的中點，求二面角N-AM-B的餘弦值．

解答：

（1）證明：因爲∠BAD=90°，所以AD⊥AB，
又因爲C′B⊥AD，且AB∩C′B=B，
所以AD⊥平面C′AB，
因爲AC′⊂平面C′AB，
所以AD⊥AC′．
（2）因爲△BCD是等邊三角形，
AB=AD，∠BAD=90°，
不防設AB=1，則BC=CD=BD=
2，
又因爲M，N分別爲BD，C′B的中點，
由此以A爲原點，AB，AD，AC′所在直線爲坐標軸建立空間直角坐標系A-xyz．
則有A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C′（0，0，1），M(
1
2，
1
2，0)，N(
1
2，0，
1
2)．
所以

AM=(
1
2，
1
2，0)，

AN=(
1
2，0，
1
2)．
設平面AMN的法向量爲

m=(x，y，z)．
則

AM•

m=0

AN•

試題解析：

（1）根據題目給出的條件，∠BAD=90°，AD⊥C′B，利用線面垂直的判定得到線面垂直，從而得到線線垂直；
（2）由（1）得到AB，AD，AC′兩兩互相垂直，以A點爲坐標原點建立空間直角坐標系後，解出相應點的坐標，求出兩個平面AMN和ABM的法向量，利用平面法向量求二面角N-AM-B的餘弦值．

名師點評：

本題考點： 用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的性質．
考點點評： 本題考查了直線與平面垂直的判定及性質，考查了利用空間向量求解二面角的問題，解答的關鍵是建立正確的空間坐標系，即符合右手系，同時注意兩平面法向量所成的角與二面角的關係，是中檔題．