（2013•黃浦區二模）如圖，在梯形ABCD中，AD=BC=10，tanD=43，E是腰AD上一點，且AE：ED=1：3

題目：

（2013•黃浦區二模）如圖，在梯形ABCD中，AD=BC=10，tanD=

4

3

解答：

（1）作梯形的高AH，BG，如圖1
∵AD=10，tanD=
4
3，
∴
AH
DH=
4
3，
設AH=4t，DH=3t，則AD=
AH2+DH2=5t，
∴5t=10，解得t=2，
∴DH=6，AH=8，
同理得到BG=8，CG=6，
由AB：CD=1：3，設AB=x，CD=3x，
∴6+x+6=3x，解得x=6，
∴梯形ABCD的面積=
1
2（AB+CD）•AH=
1
2•（x+3x）×8=
1
2×24×8=96；

（2）作EK∥CD交BC於K，如圖1，
∵AE：ED=1：3，AD=10，
∴AE=
5
2，ED=
15
2，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BEK，
∵∠ABE=∠BCE，
∴∠BEK=∠BCE，
∴△BEK∽△BCE，
∴BE：BC=BK：BE，即BE²=BK：BC，
∵梯形ABCD爲等腰梯形，
∴BK=AE=
5
2，
∴BE²=BK：BC=
5
2×10，
∴BE=5；

（3）△BCE是直角三角形，
①當∠EBC=90°時，延長BE交CD的延長線於F點，如圖2，
∵AB∥DF，
∴AB：DF=AE：ED=1：3，
∴DF=3AB，
設AB=x，則DF=3x，HG=x，
∵Rt△FBG∽Rt△BGC，
∴BG²=GF•GC，即8²=（3x+6+x）×6，解得x=
7
6，
即邊AB的長爲
7
6；
②當∠CEB=90°時，延長BE交CD的延長線於F點，作EN⊥CD於N，如圖3，
設AB=x，則DF=3x，DC=12+x，
在Rt△EDN中，ED=
15
2，tan∠EDN=
4
3=
EN
DN，
設EN=4a，則DN=3a，
∴ED=
EN2+DN2=5a，
∴5a=
15
2，解得a=

試題解析：

（1）作梯形的高AH，BG，根據正切的定義得到

AH

DH

=

4

3

，設AH=4t，DH=3t，根據勾股定理計算出AD=5t，5t=10，解得t=2，則DH=6，AH=8，設AB=x，CD=3x，
所以6+x+6=3x，解得x=6，然後根據梯形的面積公式計算梯形ABCD的面積；
（2）作Ek∥CD交BC於k，由AE：ED=1：3，AD=10得到AE=

5

2

，ED=

15

2

，由AB∥CD得到∠ABE=∠BEK，由於∠ABE=∠BCE，所以∠BEK=∠BCE，於是可判斷△BEK∽△BCE，BE²=BK：BC根據等腰梯形的性質BK=AE=

5

2

，則BE²=BK：BC=

5

2

×10，即可計算出BE=5；
（3）分類討論：當∠EBC=90°時，延長BE交CD的延長線於F點，由AB∥DF得到AB：DF=AE：ED=1：3，即DF=3AB，設AB=x，則DF=3x，HG=x，易證得Rt△FBG∽Rt△BGC，則BG²=GF•GC，即8²=（3x+6+x）×6，解得x=

7

6

；當∠CEB=90°時，延長BE交CD的延長線於F點，作EM⊥CD於M，設AB=x，則DF=3x，DC=12+x，
在Rt△EDN中，ED=

15

2

，tan∠EDN=

4

3

=

EN

DN

，利用勾股定理可計算出EN=6，DN=

9

2

，則NC=12+x-

9

2

=x+

15

2

，易證得Rt△FEN∽Rt△ECN，EN²=NF•NC，即6²=（3x+

9

2

）（12+

15

2

），然後解方程可得到AB的長．

名師點評：

本題考點： 四邊形綜合題．
考點點評： 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握等腰梯形的性質和平行線線分線段成比例定理；會運用三角形相似的判定與性質和勾股定理進行幾何計算．