（2013•內江二模）在實數集R中定義一種運算「⊕」，對任意a，b∈R，a⊕b爲唯一確定的實數且具有性質：

題目：

（2013•內江二模）在實數集R中定義一種運算「⊕」，對任意a，b∈R，a⊕b爲唯一確定的實數且具有性質：
（1）對任意a，b∈R，有a⊕b=b⊕a；
（2）對任意a∈R，有a⊕0=a；
（3）對任意a，b，c∈R，有（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（c⊕b）-2c．
已知函數f(x)＝x

解答：

在（3）中，令c=0，則a⊕b=ab+a+b，所以f（x）=x²⊕
1
x2=x2•
1
x2+x2+
1
x2=1+x2+
1
x2．
則f(x)＝1+x2+
1
x2≥1+2
x2•
1
x2＝3，所以命題（1）正確；
由f(−x)＝1+(−x)2+
1
(−x)2＝1+x2+
1
x2＝f(x)，則函數f（x）爲偶函數，所以命題（2）不正確；
而f′(x)＝2x−
2
x3＝
2(x2+1)(x+1)(x−1)
x3，由此可知函數的增區間爲（-1，0），（1，+∞），
所以命題（3）正確．
故答案爲（1）（3）．

試題解析：

對於新定義的運算問題常常通過賦值法得到一般性的結論，本題的關鍵是對f（x）的化簡．

名師點評：

本題考點： 命題的真假判斷與應用．
考點點評： 本題是一個新定義運算型問題，考查了函數的最值、奇偶性、單調性等有關性質以及同學們類比運算解決問題的能力，是基礎題．