（2014•鷹潭二模）如圖，在直三稜柱ABC-A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC．M、N分別是AC和BB

題目：

（2014•鷹潭二模）如圖，在直三稜柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=BC=AB=2，AB⊥BC．M、N分別是AC和BB₁的中點．
（1）求二面角B₁-A₁C-C₁的大小．
（2）證明：在AB上存在一個點Q，使得平面QMN⊥平面A₁B₁C，並求出BQ的長度．

解答：

如圖建立空間直角坐標系…（1分）
（1）由題意可得：A₁（2，0，2），B₁（0，0，2），C（0，2，0），C₁（0，2，2）
所以

A1C＝(−2，2，−2)，

A1B1＝(−2，0，0)，

CC1＝(0，0，2)
設平面A₁CB₁的法向量爲

n＝(x1，y1，z1)，平面A₁CC₁的法向量爲

m＝(x2，y2，z2)
則有

A1C

試題解析：

（1）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標與向量的坐標，再分別設出兩個平面的法向量，然後利用法向量與平面上的向量數量積等於0，分別求出兩個平面的一個法向量，再根據兩個向量的有關運算求出兩個向量的夾角，進而轉化爲二面角的平面角的餘弦值求出答案即可．
（2）設Q（t，0，0），由兩個平面垂直得到兩個平面的法向量垂直，再分別求出兩個平面的法向量利用其數量積等於0即可求出t的數值，進而得到答案．

名師點評：

本題考點： 用空間向量求平面間的夾角；向量語言表述面面的垂直、平行關係．
考點點評： 解決此類問題的關鍵是熟練掌握利用空間向量求空間角的方法，求二面角的關鍵是正確求出平面的法向量，再利用向量之間的有關運算求出向量的夾角，進而把向量的夾角轉化爲空間角，本題要注意區分二面角與兩個平面所成的角，本題求的是二面角．