（2013•襄城區模擬）如圖所示，以Rt△ABC的直角邊AB爲直徑作圓O，與斜邊交於點D，E爲BC邊上的中點，連接DE．

題目：

（2013•襄城區模擬）如圖所示，以Rt△ABC的直角邊AB爲直徑作圓O，與斜邊交於點D，E爲BC邊上的中點，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）連接OE，AE，當∠CAB爲何值時，四邊形AOED是平行四邊形？並在此條件下求sin∠CAE的值．

解答：

（1）證明：連接O、D與B、D兩點，
∵△BDC是Rt△，且E爲BC中點，
∴∠EDB=∠EBD．（2分）
又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°．
∴DE是⊙O的切線．（4分）

（2）∵∠EDO=∠B=90°，
若要四邊形AOED是平行四邊形，則DE∥AB，D爲AC中點，
又∵BD⊥AC，
∴△ABC爲等腰直角三角形．
∴∠CAB=45°．（6分）
過E作EH⊥AC於H，
設BC=2k，則EH=

2
2K，AE＝
5K，（8分）
∴sin∠CAE=
EH
AE＝

10
10．（10分）

試題解析：

（1）要證DE是⊙O的切線，必須證ED⊥OD，即∠EDB+∠ODB=90°
（2）要證AOED是平行四邊形，則DE∥AB，D爲AC中點，又BD⊥AC，所以△ABC爲等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再利用此結論，過E作EH⊥AC於H，求出EH、AE，即可求得sin∠CAE的值．

名師點評：

本題考點： 切線的判定；平行四邊形的判定．
考點點評： 本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即爲半徑），再證垂直即可．