（2014•淮安模擬）若關於x的方程3

題目：

（2014•淮安模擬）若關於x的方程

3

解答：

∵方程
3sinx+cosx=k，
∴2sin（x+
π
6）=k，即sinx（x+
π
6）=
k
2，
可以令f（x）=sinx（x+
π
6），h（x）=
k
2，
∵方程
3sinx+cosx=k在區間[0，
π
2]上有兩個不同的實數解
∴函數f（x）和h（x）的圖象有兩個交點，
如下圖：
∴
π
6≤x+
π
6≤
2π
3
∴h（x）=
k
2，要使y=f（x）與y=h（x）有兩個交點，
∴y=h（x）在直線m和直線n之間，有兩個交點，
∴

3
2≤
k
2＜1，
∴
3≤k＜2．
故答案爲：[

試題解析：

方程

3

sinx+cosx=k在區間[0，

π

2

]上有兩個不同的實數解，可以將方程轉化爲：sin（x+

π

6

）=

k

2

，畫出這兩個函數的圖象，利用數形結合的方法進行求解；

名師點評：

本題考點： 兩角和與差的正弦函數．
考點點評： 本題主要考查函數的零點及函數的零點存在性定理，函數的零點的研究就可轉化爲相應方程根的問題，數形結合的思想得到了很好的體現．