如何證明矩陣特徵值的幾何重數等於相應Jordan塊的個數,謝謝!

題目：

如何證明矩陣特徵值的幾何重數等於相應Jordan塊的個數,謝謝!

解答：

這個比較簡單,證明過程如下：
1. A相似於某個Jordan標準型J,且J = diag{J1, J2, ..., Jp},Ji表示第i個特徵值λi對應的Jordan塊；
2. 不難發現,J對應於任何λi的幾何重數等於A對應於λi的幾何重數；
3. J - λi*I = diag{J1 - λi * I1, J2 - λi * I2, ..., Jp - λi * Ip},假設特徵值爲λi的Jordan塊個數（不是Jordan塊階數）爲ni個,那麼rank(diag{J1 - λi * I1, J2 - λi * I2, ..., Jp - λi * Ip}) = n - ni（因爲每個特徵值爲λi的Jordan塊減去λi * I後分別減少1階,而其他特徵值不爲λi的Jordan塊在減去λi * I後仍然是滿秩的）,因此rank(J - λi*I) = n - ni,於是J對應於λi的幾何重數爲ni；
4. 結合2、3不難推出,A對應於λi的幾何重數等於相應Jordan塊的個數,證畢!