在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別爲△ABC的三邊，已知a-b=2，b：c=3：5，且方程x2-2（k+1）x+

題目：

在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別爲△ABC的三邊，已知a-b=2，b：c=3：5，且方程x²-2（k+1）x+k²-12=0兩實根的平方和是△ABC斜邊的平方，求k的值．

解答：

在△ABC中，∵∠C=90°，a-b=2，b：c=3：5，
∴設b=3k，則c=5k，
∴a=
c2−b2=4k，
又∵a-b=2，
∴4k-3k=2，
解得k=2，
∴c=10．
不妨設原方程的兩根爲x₁，x₂，
由根與係數的關係得x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²-12，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4（k+1）²-2（k²-12）=2k²+8k+28，
由已知有：x₁²+x₂²=10²，
∴2k²+8k+28=10²=100，
解這個方程得k₁=-2+2
10，k₂=-2-2
10，
又∵方程有兩個實數根，
∴△=4（k+1）²-4（k²-12）≥0，
∴k≥-6.5，
∴k=-2+2
10．

試題解析：

由於a-b=2，b：c=3：5，利用勾股定理可求出c的值，然後根據根與係數的關係得出兩個實數根的平方和，根據題意得到關於k的方程，從而可以求出k的值並驗根．

名師點評：

本題考點： 根與係數的關係．
考點點評： 此題著重考查了根的判別式，根與係數的關係．在利用根與係數的關係解題時，要特別注意一定要利用根的判別式進行檢驗．