已知非零實數a、b、c滿足a+b+c=0 求[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b

題目：

已知非零實數a、b、c滿足a+b+c=0 求[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]的值
要簡潔一點,
(1) 已知非零實數a、b、c滿足a+b+c=0 求[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]的值 （2）已知abcd爲正整數,且b/a=(4d-7)/c,(b+10/a=(7d-7)/c,則c/a=?d/b=?
打字清楚點
（3)若abc不=0,且(a+b)/c=(b+c)/a=(c+a)/b,則((a+b)(b+c)(c+a))/abc=?
要求一樣

解答：

∵a+b+c=0,所以c=-a-b,
∴(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b
=(a-b)/(-a-b)+(b+a+b)/a+(-a-b-a)/b
=(b-a)/(b+a)+2b/a-2a/b,
通分得：(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b
=(2b^3+3ab^2-3a^2b-2a^2)/[(a+b)ab]
=(2b+a)(b+2a)(b-a)/[(a+b)ab].
∵c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)=(b+a)/(b-a)+a/(2b+a)-b/(2a+b),
通分,得c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)=9ab(a+b)/[(2b+a)(b+2a)(b-a)],
∴[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9.
由b/a=(4d-7)/c,得c/a=(4d-7)/b
由(b+1)/a=7(d-1)/c,得c/a=7(d-1)/(b+1)
所以：(4d-7)/b=7(d-1)/(b+1)
7b(d-1)=(4d-7)(b+1)
7bd-7b=4db+4d-7b-7
3db=4d-7
得：c/a=(4d-7)/b=3db/b=3d
又因爲a,b,c,d均爲正整數,3db=4d-7>0,得d>7/4,
又觀察得d=7爲一個符合條件的值,此時b=1,c/a=21,d/b=7
令k=a+b/c=b+c/a=a+c/b
則a+b=ck
b+c=ak
a+c=bk
相加
2(a+b+c)=k(a+b+c)
(a+b+c)(k-2)=0
若a+b+c=0,則a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b
則(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=(-c)(-a)(-b)/abc
=-1
若k-2=0
k=2
則a+b=2c
b+c=2a
a+c=2b
則(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=2c*2a*2b/abc
=8
綜上(a+b)(b+c)(c+a)/abc=-1或8
再問： 爲什麼： 由b/a=(4d-7)/c，得c/a=(4d-7)/b
再答： b/a=(4d-7)/c 等價於bc=a(4d-7) 等價於c/a=(4d-7)/b 就和a/b=c/d等價於d/b=c/a一樣的道理 明白了嗎？