設x,y,z都是正數,且3^x=4^y=6^z,求證：1/z-1/x=1/2y

題目：

設x,y,z都是正數,且3^x=4^y=6^z,求證：1/z-1/x=1/2y
∵x,y,z都是正數,且3^x=4^y=6^z
∴lg(3^x)=lg(4^y)=lg(6^z)
即：xlg3=ylg4=zlg6
設xlg3=ylg4=zlg6=k
則x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6
1/z-1/x
=1/(k/lg6)-1/(k/lg3)
=lg6/k-lg3/k
=(lg6-lg3)/k
=lg2/k
1/2y
=1/(2k/lg4)
=lg4/(2k)
=2lg2/(2k)
=lg2/k
∴1/z-1/x=1/2y得證
但是要比較3x,4y,6z的大小,怎麼比?
重點在問題的最後一行!

解答：

既然已推斷出：x=k/lg3,y=k/lg4,z=k/lg6 .
但是粗略的比較下三個數,分母都不一樣,那麼求差比較大小是比較複雜的事情；而他們的分子都是k,所以比較3x,4y,6z的大小,我們可以從其倒數來考慮.
則1/3x=lg3/3k,1/4y=lg4/4k,1/6z=lg6 /6k.分別求差得：
1/3x-1/4y=lg3/3k-lg4/4k=（4lg3-3lg4）/12k,因爲（4lg3-3lg4）爲大於0的數,且k亦大於0,所以1/3x-1/4y>0,由此可推3x