證明 實對稱矩陣是正定矩陣的充要條件是它的特徵值都是正數

題目：

證明 實對稱矩陣是正定矩陣的充要條件是它的特徵值都是正數

解答：

1.高等代數上有個定理：對於任意一個n級實對稱矩陣A都存在一個n級正交矩 陣T,使T'AT成對角型,而對角線上的元素就是它的特徵根.由此,開證,
（1）充分性：當對稱矩陣A的特徵根都爲正數時,對角型矩陣T'AT對角線上的元素均爲正數,所以T'AT爲正定矩陣,又T爲正交陣,所以A是正定陣.
（2）必要性：由於對稱矩陣A是正定矩陣,所以存在一個正交矩陣T,使T'AT成對角型的對角線上的元素均爲正值,而對角線上的元素又爲A的所有特徵值,即A的特徵值均爲正數.