線性代數設三階實對稱矩陣A的特徵值爲0和1（二重）,屬於0的特徵向量爲a1=（0,1,1）T,求A.課本上求的時候,設與

題目：

線性代數
設三階實對稱矩陣A的特徵值爲0和1（二重）,屬於0的特徵向量爲a1=（0,1,1）T,求A.課本上求的時候,設與a1正交的向量爲a（x1,x2,x3）T,然後利用正交內積爲零,得到x2+x3=0,然後得到了a的一個基礎解系,他就說是這個基礎解析是二重特徵值1的兩個線性無關的特徵向量,然後去求A了,我想知道怎麼證明a的這個基礎解系恰好是另一個特徵值的特徵向量呢?正交不是只是屬於不同特徵值的特徵向量的必要條件嗎?非常糾結,

解答：

因爲實對稱矩陣的不同特徵值所對應的特徵向量是正交的!（書上有哦）
再問： 可是正交是必要條件呢，並不是所有和a1正交的向量都會是另一個特徵值的特徵向量吧？
再答： 是另一個特徵值的特徵向量！其實與a1正交的也就兩個向量，即是另一個特徵值的特徵向量。