線性代數題目A爲3階實對稱矩陣,屬於特徵值1的特徵向量爲(1,-1,1)還有另外兩個特徵值2,-3.求另外兩個特徵向量.

題目：

線性代數題目
A爲3階實對稱矩陣,屬於特徵值1的特徵向量爲(1,-1,1)還有另外兩個特徵值2,-3.求另外兩個特徵向量.求詳解

解答：

方法:實對稱矩陣的屬於不同特徵值的特徵向量正交
設 X=(x1,x2,x3)^T 爲A的屬於特徵值2,-3的特徵向量.
則有 x1-x2+x3 = 0
其基礎解係為:(1,1,0)^T,(1,0,-1)^T
此即爲A的另外兩個特徵向量.
再問： 爲什麼它們就是特徵向量呢？它們是滿足正交，但你怎麼證明Aα=λα?
再答： 補充一下, 上面求出的2個向量需正交化一下 因爲A是實對稱矩陣, A必正交相似於對角矩陣 diag(1,2,-3) 即存在正交的向量 α1=(1,-1,1)^T, α2,α3 爲A的特徵向量, 分別屬於特徵值1,2,-3 而與α1正交的向量只多擴充成3個, 故求出的與α1正交的向量就是所求.