（2）設直線l是曲線y=f(x)切線,證明直線l與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積爲定值

題目：

（2）設直線l是曲線y=f(x)切線,證明直線l與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積爲定值
題干是,設函數f(x)=ax+1/(x+b) (a,b是整數),曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程爲y=3,（1）求f(x)的解析式；提問字數不夠,所以只把最主要的問題寫上了!

解答：

1.
f(x)'=a-1/(x+b)^2
f(2)'=a-1/(2+b)^2=0
a、b是整數,所以1/（2+b)^2=1,否則不可能滿足題意
所以b+2=+-1,b=-1或b=-3
a=1,又f(2)=3,所以3=2+1/(2+b),b=-1
所以f(x)=4x-1/(x-1)
2.設x=t點處的切線爲y=f(t)'(x-t)+f(t)
即y=[1-1/(t-1)^2](x-t)+t+1/(t-1)=x-x/(t-1)^2+t/(t-1)^2+1/(t-1)
它與x=1的焦點即將x=1代入有,y=1-1/(t-1)^2+t/(t-1)^2+1/(t-1)=1+(-1+t+t-1)/(t-1)^2=1+(2t-2)/(t-1)^2=1+2/(t-1),交點在（1,1+2/(t-1))
它與y=x的交點即將y=x代入有,x=x-x/(t-1)^2+t/(t-1)^2+1/(t-1)有x=(t-1)^2*[t/(t-1)^2+1/(t-1)]=t+t-1=2t-1,交點在(2t-1,2t-1)
y=x與x=1的交點在（1,1）
所以該三角形的面積S=1/2×|[1+2/(t-1)-1]×[2t-1-1]|=1/2×|2/(t-1) ×2(t-1)|=2