設兩個n維向量組A：a1, a2, … , ar； B: b1, b2, … , bs, 如果向量組A可由向量組B 線性

題目：

設兩個n維向量組A：a1, a2, … , ar； B: b1, b2, … , bs, 如果向量組A可由向量組B 線性表示,
請解釋 兩個n維向量組A：a1, a2, … , ar；
B: b1, b2, … , bs, 如果向量組A可由向量組B
線性表示,且向量組A線性無關,則r≤s.

解答：

向量組A可以由向量組B線性表示,說明A中所有向量a1,……ar都能找到一組k,使每個向量都表示成B中的向量的線性組合.
因爲A中向量線性無關,那麼B中的線性無關的向量必然要大於等於A中無關的個數,否則能在A中找到兩個向量,對應B中表示他們的向量是相同的,這樣他們必然是相關的,就與A線性無關矛盾了.
用數學來表示：A=BK,其中K表示係數矩陣
r=R(A)=R(BK)≤min(R(B),R(K))≤R(B)=s
再問： 因爲A中向量線性無關，那麼B中的線性無關的向量必然要大於等於A中無關的個數，否則能在A中找到兩個向量，對應B中表示他們的向量是相同的，這樣他們必然是相關的，就與A線性無關矛盾了。
這句話不理解，能舉例說明一下嗎？
再答： A中的每個向量至少要對應B中的一個向量。
比如a1等於k*b1，a2等於k*b2，……ar等於k*br
由於a1,……ar線性無關，b1,……br也必然線性無關，這時B矩陣的秩至少是r了

實際a1,……ar可能分別是B中幾個向量的線性組合，但他們之間至少有一個線性無關的向量（也就是上面說的b1,……br）
再問： 那這裡的r s是表示向量個數還是秩？是規定嗎？
再答： 表示向量的個數，和題目中的意思一樣。