4月3日平均值不等式及其應用5變式4設x,y ,z∈R,且x2+y2+z2=1 ,求S=xy/z+xz/y+yz/x的最

題目：

4月3日平均值不等式及其應用5變式4設x,y ,z∈R,且x2+y2+z2=1 ,求S=xy/z+xz/y+yz/x的最小值.

解答：

由題設及均值不等式可知,(xy/z)²+(xz/y)²≥2x²,(xy/z)²+(yz/x)²≥2y²,(xz/y)²+(yz/x)²≥2z².三式相加得：(xy/z)²+(xz/y)²+(yz/x)²≥1.該式兩邊加2×（x²+y²+z²),(即2）得[(xy/z)+(xz/y)+(yz/x)]²≥3.等號僅當x=y=z=√3/3時取得.故所求的最小值爲3.【兩邊相加後,分解即是完全平方式】.