已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，c≠0）的兩個實數根，且x1x2＝mn（m≠0，n≠0）．

題目：

已知x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，c≠0）的兩個實數根，且

解答：

（1）由題意得，x₁+x₂=-
b
a①，x₁x₂=
c
a②．
由
x1
x2=
m
n，得x₁=
m
nx₂③．
把③代入①，得x₂=-
bn
a(m+n)．
把③代入②得x²₂=
nc
am．
消去x₂，得
b2
ac=
(m+n)2
mn．
（2）若
(m+n)2
mn=
6
5成立，
設（m+n）²=6k，mn=5k（k＞0）．
則m+n=±
6k，mn=5k．
若m，n存在，應是方程x²±
6kz+5k=0的根．
∵△=（±
6k）²-20k=-14k＜0（k＞0）．
∴m、n不存在．

試題解析：

（1）由一元二次方程的根與係數的關係得到x₁+x₂=-

①，x₁x₂=

②，由已知

＝

變形後代入①②，聯立方程，消去x，就可得到

值．
（2）由於

(m+n)2

成立，設出適當的參數，建立關於以m+n和mn爲兩根的新的一元二次方程，求得其△的符號後，來判定根的情況後，決定是否存在m，n的值．

名師點評：

本題考點：根與係數的關係；一元二次方程的解；根的判別式．
考點點評：解答此題要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關係和一元二次方程根與係數的關係：
（1）△＞0⇔方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0⇔方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0⇔方程沒有實數根；
（4）x1+x2=-ba；
（5）x1•x2=ca．

已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，c≠0）的兩個實數根，且x1x2＝mn（m≠0，n≠0）．

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