已知兩個正實數x，y滿足x+y=4，則使不等式1x+4y≥m恆成立的實數m的取值範圍是（　　）

題目：

已知兩個正實數x，y滿足x+y=4，則使不等式

解答：

∵不等式
1
x+
4
y≥m對兩個正實數x，y恆成立，即（
1
x+
4
y）_min≥m，
∵x+y=4，即
x
4+
y
4＝1，
又∵x＞0，y＞0，
∴
1
x+
4
y=（
1
x+
4
y）（
x
4+
y
4）=
y
4x+
x
y+
5
4≥2

y
4x•
x
y+
5
4=1+
5
4=
9
4，
若且唯若
y
4x=
x
y，即x=
4
3，y=
8
3時取「=」，
∴（
1
x+
4
y）_min=
9
4，
∴m≤
9
4，
∴實數m的取值範圍是（-∞，
9
4]．
故選：D．

試題解析：

將不等式恆成問題轉化爲求

名師點評：

本題考點： 基本不等式在最值問題中的應用．
考點點評： 本題考查了基本不等式在最值問題中的應用．在應用基本不等式求最值時要注意「一正、二定、三相等」的判斷．運用基本不等式解題的關鍵是尋找和爲定值或者是積爲定值，難點在於如何合理正確的構造出定值．涉及了不等式恆成立問題，對於不等式恆成立問題一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法求解．屬於中檔題．