設x1=10，x

題目：

設x₁=10，x

解答：

（1）先用數學歸納法證明數列{x_n}是單調遞減的
∵x1＝10，x2＝
6+x1＝4
∴x₂＞x₁
假設x_k-1＞x_k，（k≥2且k爲整數），則
xk＝
6+xk−1＝＞
6+xk＝xk+1
∴對一切正整數n，都有x_n＞x_n+1
∴數列{x_n}是單調遞減的數列
（2）證明數列{x_n}是有界的
∵x_n≤x₁=10，n爲正整數
且由xn+1＝
6+xn知，x_n＞0，
∴0＜x_n≤10，n爲正整數
即數列{x_n}是有界的
∴數列{x_n}極限存在
假設
lim
n→∞xn＝a
則根據xn+1＝
6+xn，得
a＝
6+a
∴解得：a=3（捨去a=-2）
∴
lim
n→∞xn＝3

試題解析：

證明數列的極限存在，常用的兩個定理：夾逼定理和單調有界定理，根據已知條件，應該用單調有界定理會更簡單點．求極限，依據數列的遞推公式即可

名師點評：

本題考點： 函數極限存在性的判別和證明綜合；收斂數列的存在的判別和證明．
考點點評： 當數列是以遞推公式給出時，一般用數學歸納法證明其單調性會簡單些，有界性就可以由其單調性以及遞推關係求出．