（2012•鷹潭一模）在如圖所示的幾何體中，△ABC爲正三角形，AE和CD都垂直於平面ABC，且AE=AB=2，CD=1

題目：

（2012•鷹潭一模）在如圖所示的幾何體中，△ABC爲正三角形，AE和CD都垂直於平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F爲BE的中點．
（I）求證：平面DBE⊥平面ABE；
（II）求直線BD和平面ACDE所成角的餘弦值．

解答：

（I）證明：取AB中點G，則四邊形CDFG爲平行四邊形，
∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ABE
∴平面ABE⊥平面ABC，交線爲AB．
又△ABC爲正三角形，G爲AB中點
∴CG⊥AB，
∴CG⊥平面ABE，又CG∥DF，
∴DF⊥平面ABE，
又DF⊂平面DBE
∴平面DBE⊥平面ABE．
（II）取AC中點M，連接BM、DM，
∵△ABC爲正三角形，M爲AC中點，
∴BM⊥AC．
又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ACDE
∴平面ACDE⊥平面ABC，
∴BM⊥平面ACDE．
∴∠BDM爲所求的線面角．
又因爲△ABC爲正三角形且AB=2，
所以BM=
3，BC⊂平面ABC，
所以CD⊥BC，
所以BD=
5，
所以cos∠BDM=

10
5故直線BD和平面ACDE所成角的餘弦值爲

10
5．

試題解析：

（Ⅰ）取AB中點G，由題意可知四邊形CDFG爲平行四邊形，可得CG∥DF．根據題意可得：平面ABE⊥平面ABC，可得CG⊥平面ABE，進而得到DF⊥平面ABE，即可證明面面垂直．
（II）取AC中點M，連接BM、DM，所以BM⊥AC，又平面ACDE⊥平面ABC，所以BM⊥平面ACDE，所以∠BDM爲所求的線面角，再結合解三角形的有關知識求出線面角即可得到答案．

名師點評：

本題考點： 平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．
考點點評： 本題考查直線與平面面垂直的判定定理，並且也考查求直線與平面所成的角的有關知識，找出直線與平面所成的角是解題的難點和關鍵，屬於難題．